teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética es la afirmación de que todo entero natural no nulo se puede descomponer como un producto de factores primos de forma única.
Ejemplos:

91000 = 2³×5³×7×13

6363 = 3²×7×101.

Además no existe ninguna otra factorización de 91000 y 6363 en números primos, excepto cambiando el orden de los factores. Se acostumbra escribir los factores en orden creciente.
Un producto vacío (es decir sin ningún factor) es por convención igual a 1, lo que permite afirmar que 1 también verifica el teorema. Un producto de un solo factor es por convención este factor; así los números primos también verifican el teorema.

Existen varias pruebas de este teorema que fue descubierto por los Griegos hace más de dos milenios:

• Prueba por reducción al absurdo
• Pruebas constructivas, es decir que permiten efectivamente encontrar tal factorización (o descomposición) en factores primos.

Si la prueba ad absurbum no es significativamente más corta se prefiere la constructiva.
La prueba consta de dos partes:

1. Primero, se debe mostrar que todo número entero positivo puede en efecto escribirse como producto de primos.
2. A continuación debe demostrarse que tal descomposición es única (si se ordenan los factores).

Existencia
Primero se verifica el teorema para valores pequeños:

• El caso 1 ya se ha visto
• 2 es primo,
• 3 también,
• 4 = 2²,
• 5 es primo,
• 6 = 2×3,
• 7 es primo,
• 8 = 2³,
• 9 = 3²
• ...

Por tanto el teorema se verifica para los 9 primeros números naturales.
A continuación se demuestra por inducción para todos los números naturales:
Supongamos que hemos sido capaces de descomponer en primos todos los números enteros entre 2 y n-1. (afirmación que denotamos A_n-1).
Consideremos el entero n: si es primo entonces no hay nada más que demostrar. Si no es el caso, entonces n tiene un factor propio, es decir distinto de 1 y de él mismo. Sea a este factor, y b = n/a. Entonces n = a·b. Como a y b son por construcción inferiores a n y por lo tanto:

a ≤ n-1

b ≤ n-1,

Como además A_n-1 permite afirmar que a y b se descomponen en factores primos:

a = a₁·a₂·a₃···a_j

b = b₁·b₂·b₃···b_k.

Entonces:

n = a·b = a₁·a₂···a_j·b₁·b₂···b_k

que es un producto de primos. Por lo tanto hemos demostrado que A_n también es cierta.
Puesto que A₁ es cierta y A_n-1 implica A_n, tenemos entonces que la afirmación A_n es siempre válida (con n ≥1).

El teorema establece la importancia de los números primos. En esencia, respecto a la multiplicación, los primos son los "ladrillos básicos" con los que se "construyen" los enteros positivos. Toda propiedad o función que se "comporta bien" para con la multiplicación precisa de los números primos (para definirla, verificarla o calcularla).

• Es el caso de la divisibilidad: Para cualquier número natural n = 2^a₁·3^a₂···p^a_m, sus divisores pueden escribirse de la forma: 2^b₁·3^b₂···p^b_m, siempre y cuando 0 ≤ b_i ≤ a_i.

Esta propiedad permite contar los divisores de un natural dado: hay (a₁ + 1)·(a₂ + 1)···(a_m + 1) divisores positivos y otros tantos negativos.

Por ejemplo 24 = 2³×3; los exponentes son 3 y 1, luego hay (3 + 1)·(1 + 1 ) = 8 divisores positivos. En efecto son ocho: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

• Es el caso del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo que se obtienen respectivamente tomando los factores primos comunes con el menor exponente por una parte, y todos los factores presentes, con el mayor exponente por otra parte.

Por ejemplo: 504 = 2³×3²×7 y 450 = 2×3²×5².

Entonces:

mcd (504, 450) = 2×3² = 18 y

mcm(168, 450) = 2³×3²×5²×7 = 12600.

Método manual de descomposición

La prueba, constructiva, sugiere el método siguiente a la hora de descomponer un número, n, en sus factores primos:

• Se buscan dos (o más) factores obvios (y de ser posible bastante grandes), a y b, tales que:

n = a × b

• Luego se descomponen a su vez a y b.
• Se repite la operación hasta obtener sólo factores primos.

La mejor representación es la de un árbol cuya "raíz" es el número por descomponer y las hojas son los factores primos. Con los ejemplos precedentes se obtiene el esquema de la derecha:

Si no hay factores grandes obvios, el método alternativo consiste en tratar de dividir n cuantas veces sea posible por cada uno de los números primos empezando por el 2, siguiendo por 3 y así sucesivamente. Para ello es muy conveniente ayudarse de los criterios de divisibilidad.
El cálculo se presenta como una sucesión de divisiones y se para cuando aparece el 1, indivisible.
Nótese también que cuando se busca un factor primo de un entero n, no hay que ir más allá de su raíz cuadrada,

: En efecto, si existe un factor a mayor que

también habrá un factor menor que

, concretamente

. Por ejemplo, para darse cuenta que 101 es primo, sólo se precisa verificar que no es divisible por 2, 3 y 7.